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生于扬州,学前随父母去过西安、长沙、桂林、昆明、合川,小学在重庆,中学在上海,50年到北京国立高工读书,并在北京工作,70年来三线工作.82年定居成都.95年退休.游戏智慧是47年随父亲皈依贡戛活佛的法号.一生奉献于我国的计量事业,工作勤勤恳恳,刻苦钻研,事业略有所成.退休后致力于总结多年工作中的经验.子女均自立,一代更比一代强.尽享天伦之乐.

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关于四郎提出三等分角的一些问题(原创)  

2009-11-25 13:49:44|  分类: 几何方面 |  标签: |举报 |字号 订阅

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关于四郎提出三等分角的一些问题(原创)

四郎这样写道:“阿基米德曾经想出一个办法,他预先在直尺上记一点P,令直尺的一个端点为C。对于任意画的一个角,他以这个角的顶点O为圆心,以CP的长度为半径画半个圆.使这半个圆的两条边相交于A,B两点.。 然后,阿基米德移动直尺,使C点在AO的延长线上移动.使P点在圆周上移动.当直尺正好通过B点时停止移动,将CPB三点连接起来.接下来阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动,使C点正好移动到O点,并作直线OD.可以检验AOD正好是原来角AOB的三分之一.也就是说,阿基米德已经将一个角分成了三等份.

但是,人们并不承认阿基米德解决了三等份角问题.为什么不承认呢?理由很简单.阿基米德预先在直尺上作了一 个 记号P,使得直尺上实际有了刻度的功能.这是一个不能允许的"犯规"动作.因为古希腊人规定: 在尺规作图法中直尺上不能有任何刻度.而且直尺与圆规都只准许使用有限次.

根据阿基米德想的这个方法,再不 "犯规"的情况下我们首先以任意长R为半径作圆O.经过圆心作一条直线并与圆的一边相交于点A.  然后,再以圆心O点为顶点作任意角BOA, B点在圆上并且直尺绕B点旋转.   用圆规再在直尺所在的直线上截取线段CD,使得CD等于R,   C点圆O上.D点在直线AO 上.这样就可以检验角CDO正好是角AOB的三分之一…”

现在先不考虑这个操作是否违规,按其叙述进行作图,如图1。

关于四郎提出三等分角的一些问题(原创) - 游戏智慧 - zct617的博客

很显然当∠AOB越来越小时,∠AOD就越来越接近∠AOB,∠AOD就根本不等于∠AOB的三分之一。不知作者是如何证明的。更不知道所谓“阿基米德法”是否如作者所述。按作者的所谓“不犯规”的方法只是P点变为C点,C点变为D点而已。同样很明显∠CDO不等于∠AOB的三分之一。

正确的作图方法应该是:先作任意角∠AOB,过B点作OA的平行线BD。以B点为圆心,OB为半径,作圆弧。作直线OPC,P点在圆弧上,C点在直线BD上,且让线段PC等于OB。则∠POA=∠AOB的三分之一。

关于四郎提出三等分角的一些问题(原创) - 游戏智慧 - zct617的博客

证明:∵BP=PC,∴∠BPO=2∠BPC=2∠POA,而∠BPO=∠POB

∴∠POB=2∠POA,∠AOB=∠POB+∠POA,故∠AOB=3∠POA。

这个作图过程是不符合古希腊三大几何问题之一的用尺规三等份任意角的规则。它可以简单的机械结构来实现。

另外完全用尺规来作图的方法。有两种初始条件。一种是在BD上取BC等于2倍OB,作OC,在BF上交于E点,以E点为圆心,2OB为半径,在BD线上得到新的C点。再作OC,得到新的E点;这样反复求C点和E点。就最后得到所求的C点和E点。从理论上可以证明最后结构是正确的。但是违背了有限次的规定。但是在实际中有3、4次反复作图,完全可以达到作图精度。另一种初始条件是在BF上取EF等于三分之一BF,以E点为圆心,2OB为半径,在BD上求出C点。再作OC,得到新的E点…。

刚刚又看了四郎的文章,他补充了图,原来C点在O点的左侧,这样就对了。其图如图3所示。读者一看自然就明白了。

关于四郎提出三等分角的一些问题(原创) - 游戏智慧 - zct617的博客

参看文献:关于尺规等份角的一些方法  作者四郎:http://chen12345yuye.blog.163.com/blog/static/1275094722009891733841/

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